Um amigo

 Em memória de um grande amigo que nos deixou há muito tempo, esta estória passada com ELE.

BOAS FESTAS

 

Deseja o DIVAGAÇÕES a todos os seus colaboradores e visitantes

Apertos de mão - solução

 R: Cada um dos X amigos cumprimentou os outros X – 1.

Portanto, o nº total dos apertos de mão parece ser X (X-1).

Porém, há que ter em conta que quando José aperta a mão a Pedro, este aperta a mão de José. Assim, o nº de apertos de mão é metade de X (X-1).

Então, o nº total de apertos de mão é X (X-1) /2, ou seja X (X-1) /2 = 66, ou ainda X2 – X – 132 = 0, donde, pela fórmula resolvente das equações do 2º grau,

X1 = 12 e X2 = -11

Como a solução negativa não faz sentido, o nº de pessoas era 12.

Obs: O nº "2" pequeno é expoente de potência.

Apetos de mão

 Uns amigos reuniram-se para uma jantarada e à chegada cumprimentaram-se uns aos outros com um aperto de mão.
Um deles contou os apertos de mão: 66.

P: Quantas pessoas estiveram na reunião?

A cidade eléctrica - solução

 A electriCIDADE

Cidade eléctrica

 Qual a cidade mais chocante do mundo?

As aves e o rio - solução

  Pelo teorema de Pitágoras,    AC2 = 302 + X2                                             

                                                 BC2 = 202 + (50 – X)2

    e, atendendo a que os pássaros voam à mesma velocidade,

     AC = BC

    Eliminando os parêntesis e reduzindo os termos semelhantes, resulta a equação do 1º grau

    100 X = 2000, donde a distância procurada é   X= 20.

Obs. O "2" pequeno é expoente de potência.

As aves e o rio

 Em ambas as margens de um rio existem duas palmeiras, uma em frente da outra.
A altura de uma é de 30 metros, a da outra 20 e a distância entre os seus troncos é de 50.
Na copa de cada palmeira está um pássaro.

Sùbitamente os dois pássaros descobrem um peixe que aparece na superfície da água, entre as duas palmeiras e lançam-se no mesmo momento sobre ele, à mesma velocidade, alcançando-o ao mesmo tempo.

P: A que distância do tronco da palmeira maior apareceu o peixe?

Multa ao avôzinho - solução

 R: Porque passou dos 80.

Multa ao avôzinho

 Porque é que o avozinho foi multado no dia de anos?

Ângulos - solução

 R: 

A – O arco abrange 5 duodécimos da circunferência completa:

5/12 x 360º = 150º (e não105º como a primeira versão da solução apresentava).

B – O arco abrange 1 + 1/2 vezes a duodécima parte da circunferência completa:

3/2 x 1/12 x 360º = 45º

Ângulos

 Que amplitude têm os ângulos (agudos) dos ponteiros de 2 relógios que marcam respectivamente:

    A – 19h 00m

    B - 19h 30m

Nota: O problema deve resolver-se mentalmente e sem a utilização dum transferidor.

Estrela de 8 pontas. Solução

 

Estrela de 8 pontas

 Como distribuir os números de 1 a 16 nos pontos de intersecção das linhas da figura abaixo de modo a que a soma dos 4 números que se encontram em cada lado dos quadrados seja 34 e que a soma dos 4 números que se situam nos vértices de cada quadrado seja também 34?

Porco e ferragens. solução

 A porca, onde está?

Porco e ferragens.

 O que diz o porco na loja de ferragens?

Pessoas e filas. Solução

 

Pessoas e filas

 Consegue-se dividir 24 pessoas em 6 filas de modo a que cada fila fique com 5 pessoas?

Ou terá a tabuada mudado?

Elefante e elegante. Solução

 Trocando o F por um G.

Elefante elegante.

 Como fazer o elefante ficar elegante?

Roda com números. Solução

 

Roda com números

 Como distribuir os algarismos de 1 a 9 na roda abaixo, ocupando um algarismo o centro do círculo e os demais os extremos de cada diâmetro de modo a que os 3 algarismos de cada um deles somem sempre 15.

O poeta e a matemática

 Numa conversa com um amigo havida esta tarde, lembrei-me do dito atribuído a Fernando Pessoa, pessoa que imaginamos completamente afastada da matemática:

    "O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo; o que há é pouca gente a dar por isso".

(Nota: Como se sabe, o Binômio de Newton, (a+b)^n, é qualquer binômio elevado a um número n em que n é um número natural. Graças aos estudos do físico Isaac Newton sobre as potências de binômios, foi possível verificar regularidades que facilitam a representação do polinômio gerado a partir da potência de um binômio."

Porque é que o porco é chique? - solução

 Porque vive num chiqueiro.

Porque é que o porco é chique?

 Porque é que o porco é chique?

O Equador e alguns animais - solução

 Sim, o gato e alguns cães desde que não maiores que gatos.

Vejamos:

Sejam (em metros):

R1 – raio da Terra

R2 – raio da nova circunferência

P1 – comprimento do 1º fio (comprimento do Equador = 2. .π. R1)

P2 - comprimento do 2º fio (= 2. .π. R2)

P2 – P1 = 1, ou seja:

2.π. R2 - 2. .π. R1 = 1, 

donde R2 - R1 = 1/2.π = 0,159155…  cerca de 16 cm, distância independente do raio da 1ª circunferência e por onde qualquer gato passaria com toda a facilidade.

O Equador e alguns animais

Considerando a Terra plana no Equador, imaginemos que podíamos estender um fio à sua volta (uma só), bem justo ao chão. Depois, arranjávamos outro fio de igual comprimento a que acrescentávamos 1 metro e com ele fazíamos uma nova circunferência concêntrica com a primeira.

Pergunta-se: haverá algum e em caso afirmativo qual o maior dos seguintes animais acha que podia passar pelo espaço criado entre as duas circunferências: formiga, cobra, rato, rata de esgoto, gato, cão ou vitelo?

Que país cabe num frigorífico? - solução

O Perú

Que país cabe num frigorífico?

 Que país cabe num frigorífico?

Mostrador de relógio - Solução

 

Mostrador de relógio

 Como dividir este mostrador de relógio em 6 partes de maneira que, em cada parte, a soma dos números que nelas figurem seja a mesma?

Onde está o resto do dinheiro?

Dois pais, tinham um filho cada.

Um deles, deu ao seu filho 150 €, e o outro 100 € ao seu.

Porém, verificou-se que o capital conjunto dos filhos aumentou apenas em 150 €.

Quem ficou com o resto do dinheiro?

Pessoas e filas.

 Consegue-se dividir 24 pessoas em 6 filas de modo a que cada fila fique com 5 pessoas?

Ou terá a tabuada mudado?

Pilotos e aviões

 Há pouco, um amigo meu transmitiu-me um problema que alguém lhe havia posto:

Um avião, da cidade A para a B, levava uma hora e vinte minutos. Porém, na volta, com a mesma tripulação, a viagem demorava 80 minutos. Qual seria a causa?

Intrigado, pediu-me ajuda e até me adiantou como hipóteses possíveis:

1 - ventos (des)favoráveis de cidade para cidade;

2 - saudades de casa por parte da tripulação;

3 - cargas muito diferentes;

4 - gasolina com diferentes octanas.

Antes de lhe dar a minha opinião definitiva, pedia por minha vez aos meus prezados amigos se me queriam dar umas dicas.

Antecipadamente grato, aceitem um abraço como recompensa.

Divisões da Lua - solução

 Solução:

 

Divisões da Lua

Pretende-se dividir o quarto decrescente da Lua abaixo em 6 partes. Será possível fazê-lo apenas com dois segmentos de recta? Se sim, como?

 

O barbeiro - solução

 Solução:
Seja X o nº de gramas a misturar da solução a 3% e Y o nº de gramas da solução a 30%.
Assim, a primeira porção conterá 0,03X gramas de água oxigenada pura e a segunda 0,3Y.
Daqui resultarão X + Y gramas de solução, na qual a água oxigenada pura será 0,12 (X +Y).
Então, 0,03X + 0,3Y = 0,12 (X + Y), donde
 X = 2Y
Isto é, o barbeiro deverá misturar com uma certa quantidade de solução a 30%, o dobro da solução a 3%.

O barbeiro

 Para não deixar cair completamente no esquecimento estas "Divagações", aqui vai mais um pequeno passatempo.

Certa vez, sentando-me na cadeira de um barbeiro que costumava cortar-me o cabelo e após as palavras inicias do costume, fez-me o seguinte pedido:
- Não poderia o sr. resolver-me um problema que anda a dar-me volta á cabeça?
- De que se trata? – perguntei.
- Tenho duas soluções de água oxigenada, uma a 30% e a outra a 3% e quero misturá-las de forma a obter uma a 12%, mas não consigo determinar a proporção adequada de uma e outra.
- Bom, dê-me lá um papel e um lápis que vou procurar dar-lhe a solução.
No fim do corte, dei-lhe a solução e com isso ganhei uma borla no trabalho do homem.
Quem que vestir-me a pele mesmo sem promessa de borla do seu baeta?

A ponte - solução

Resposta: José e Clara atravessam a ponte juntos, o que leva 2 minutos.
Feito isso, José retorna com a lanterna, o que leva mais 1 minuto.
Isabel e Laura atravessam juntas: 8 minutos.
Clara volta com a lanterna: mais 2 minutos.
Por fim, José e Clara cruzam novamente a ponte, o que leva mais 2 minutos.

Total: 15 minutos.

A ponte

Um grupo de 4 amigos, após um dia inteiro de caminhada, volta para casa.
Escurece, e por isso eles têm de ligar a única lanterna que têm.

A certa altura do caminho eles chegam a uma pequena ponte de madeira que atravessa um rio. A ponte é muito velha. Há inclusive uma placa alertando que ela só suporta o peso de 2 pessoas de cada vez. Além disso, não é possível atravessá-la em segurança sem a lanterna.

José é capaz de atravessar a ponte num 1 minuto, Clara em 2, Isabel em 5 e a pequena Laura em 8.
Sempre que duas pessoas atravessam a ponte juntas, elas só podem mover-se ao ritmo da pessoa mais lenta.

O que é preciso fazer para todo o grupo passar para o outro lado do rio em 15 minutos?

Raridades

 Não sou especialista em nem coleccionador de vinhos.

Tentando rearrumar um canto da garagem, trouxe à luz do dia 3 garrafas de vinho que sabia estarem guardadas sem qualquer destino definido.

O tempo passa e quase sempre não damos por isso.

Uma de Tavira, colheita de 1963, outra de Alenquer, colheita de 1978, outra de Portimão, colheita de 1988 a que juntei a 4ª, muito mais "recente", de 2012.

As 3 primeiras, acredito que sejam únicas no mundo, da 4ª, ainda é capaz de restar por aí alguma, na posse de algum saudosista como eu.

Como os conteúdos das 3 primeiras já não deve estar bebível, sou capaz de as continuar a guardar. Para quê? Não sei. A última, talvez seja aberta nalguma data festiva para mim.

Um ovo e duas ampulhetas - solução.

 Resposta: Ponha a água ao lume e quando ela estiver a ferver, ponha-lhe o ovo dentro e vire as duas ampulhetas ao mesmo tempo.

Após 7 minutos, a primeira se esgotará.

Quando isso acontecer, vire-a de novo.

Quatro minutos depois, é a ampulheta de 11 que se esgotará.

Nesse momento, vire a ampulheta de 7 minutos de novo. (Repare que, antes de virá-la, faltavam 3 minutos para esta ampulheta se esgotar).

Agora, com essa nova viragem, esta ampulheta esgotar-se-á em 4 minutos, o tempo exato para medir os 15 de fervura.

Um ovo e duas ampulhetas

Você quer ferver um ovo durante exactamente 15 minutos e, para medir o tempo, dispõe de duas ampulhetas diferentes.

A primeira ampulheta mede 7 minutos e a segunda mede 11.

Como proceder?

Os 3 barris e moedas - solução

 Resposta: do barril 3 ("50/50").

Caso você tire uma moeda de ouro, sabe que esse barril só tem moedas de ouro, já que todos os barris estão rotulados erroneamente. Portanto, o barril 2 (com o rótulo "prata") só pode ser o que tem 50/50, e o barril 1 (com o rótulo "ouro") só pode estar cheio de prata.

Se, ao contrário, vier uma moeda de prata, você sabe que esse barril está cheio de prata e que o rotulado com a etiqueta "prata" está na verdade cheio de ouro. Consequentemente, o que traz no rótulo "ouro" é o 50/50.

 

Obs: A solução apresentada é a sugerida pelo sítio de onde esta charada saiu. Julgo no entanto que, seja qual fôr o barril donde se tire a moeda, é fácil saber onde estão as outras, considerando que todos os rótulos são “aldrabões”. Concordam?

 

Os 3 barris de moedas

 Há 3 barris de moedas na sua frente: um deles contém só moedas de ouro, outro só moedas de prata e o terceiro tem 50% de moedas de ouro e 50% de moedas de prata.
Todos os barris estão rotulados: 1 - "ouro", 2 - "prata" e 3 - "50/50".
Mas você sabe que todos foram rotulados incorretamente.
Para descobrir o que tem dentro de cada barril, você deve retirar uma moeda de apenas um deles.
De qual deles tiraria a moeda: do barril 1 (com o rótulo "ouro"), do barril 2 (com o rótulo "prata") ou do barril 3 (com o rótulo "50/50")?

Qual é o meu número? - Solução

 Resposta: o número de Ana é 50.

Ana vê os números de Bento (20) e de Carlos (30). Portanto o dela só pode ser 10 ou 50.

Daí dizer logo que não sabe o seu número. Mas continua raciocinando:

a)    Supondo que seja 10

Sendo assim, ela pensa que Bento, vendo o hipotético 10 de Ana e o 30 de Carlos, concluiria que o seu tanto poderia ser 20 ou 40. Daí o ter dito que não sabia o seu.

E Carlos, vendo o hipotético 10 de Ana e o 20 de Bento, concluiria que o seu teria de ser 10 ou 30. E como 10 não pode ser porque não obedece à condição de não haver números iguais concluiria logo sem qualquer dúvida que o seu número seria o 30.

Mas não, também disse que não sabia o seu, o que, por redução ao absurdo, invalida a hipótese de o nº de Ana ser 10.

Terá de ser o 50.

b)    Supondo que seja 50

 Bento viu 50 em Ana e 30 em Carlos. Logo, pensou que seu número poderia ser 20 ou 80.
Carlos viu 50 em Ana e 20 em Bento. Logo, pensou que seu número poderia ser 30 ou 80.
Também aqui ambos diriam que não sabem quais são os seus números e o 50 é a hipótese correcta para Ana.

Qual é o meu número?

Fernando adora submeter os amigos a testes de lógica.

Desta vez, ele desafiou Ana, Bento e Carlos. Na testa de cada um deles, colou um papelinho com um número escrito, os quais obedecem às seguintes condições:

1. Todos os números são positivos.

2. Nenhum dos três números é igual.

3. A soma de dois deles dá o terceiro.

4. Cada um deles só vê os números dos outros, não o seu.

Ana observa as testas de Bento e de Carlos. Ela vê o número 20 na testa de Bento e o número 30 na testa de Carlos. Portanto, depois de pensar por alguns instantes, ela diz:

- Não sei qual é o meu número.

Alguns minutos depois, Bento e Carlos também declaram não saber os seus.

De repente, Ana diz:

- Alto lá! Descobri o meu número!

Qual o número de Ana? Como chegou a essa conclusão?

Praticando ténis (com a mente) - solução mais simples

A tentação é a de dividir o número de participantes por dois, ficando assim 32 partidas para a primeira volta e assim sucessivamente, até uma para a final. O número de partidas é a soma daqueles números, 63.

Porém, há outra maneira mais simples: como há 64 participantes, para que qualquer um deles fique eliminado tem de perder 1 jogo, apenas 1. Mas tem de perdê-lo.

Portanto, se há 64 participantes no começo do torneio e no final só resta um (o campeão, que não perdeu nenhuma das partidas que jogou) significa que os restantes 63, para terem ficado eliminados, tiveram de ter perdido exactamente 1 partida. E como em cada partida existe sempre um vencedor e um vencido, o que necessariamente aconteceu foi que tiveram de jogar-se 63 partidas para que ficassem todos eliminados excepto um, que foi o que ganhou todas as partidas.

Jogaram-se portanto exactamente 63 partidas.
 

Praticando ténis (com a mente)

 Num torneio de ténis inscreveram-se 64 participantes.
Joga-se por simples eliminação, isto é, o jogador que perde uma partida é eliminado.
Pergunta-se: quantas partidas se jogaram no total até se determinar o campeão?

O SALVA VIDAS DA FOZ DO DOURO E O EÇA

 Mais outra tirada do Eça sobre coisas muito sérias do mar, à época, no seu estilo mordaz e inconfundível.

Para ler, carregar AQUI.

A MARINHA NO TEMPO DO EÇA

Citando alguns dos nossos maiores, já dizia Camões que "Mudam os tempos (mas não) mudam as vontades..." e Eça acrescentava QUE... (carregar para ver).

 Nota: sorria, para não chorar!

Divagações de génios

 A propósito da eterna discussão entre a matemática e a física, eis um diálogo entre o conhecidíssimo Albert Einstein e o quase ignorado mas tão importante como ele no contributo para a ciência em finais do século XIX e princípios do XX, Henri Poincaré:
    - Sabes, Henri, que a princípio eu estudava matemática. Mas abandonei-a e dediquei-me à física…
    - Ah… não sabia, Albert. E qual foi a razão?
    - Bem, o que acontecia era que, embora eu pudesse distinguir quais eram as afirmações verdadeira e quais as falsas, o que não conseguia fazer era decidir quais eram as importantes…
    - O que me dizes é muito interessante, Albert, porque de início eu dediquei-me à física, mas mudei para o campo da matemática…
    - Ah sim? E porquê?
    - Porque embora eu pudesse decidir quais das afirmações eram importantes e separá-las das triviais, o meu problema… era que nunca conseguia distinguir quais eram as que estavam certas!

Divagações sobre professores - III

 Bom, lá vai mais uma para testar a paciência do leitor.

Como costume, carregar AQUI.

Divagações sobre professores - II

 Mais memórias sobre professores.

Gostou da última? Então se ainda não esgotou a paciência, pode ler estas AQUI.

Divagações sobre professores - I

 Memórias de tempos idos, como aluno, que apesar de tudo deixaram saudades.

Se tiver paciência e quiser ler, carregue AQUI.

Palavra singular - solução

 Alfabeto.

Palavra singular

 Qual é a palavra que tem 26 letras e apenas 4 sílabas?

Leitura de livro - solução

 Supondo ser x o número de páginas do livro, então:

x/5 = x/3 -16

x/5 – x/3 = -16

(3x – 5x)/15 = -16

3x – 5x = -16*15

-2x = -240

x = 120

Leitura de livro

 Se eu leio 5 páginas por dia de um livro, eu termino de ler 16 dias antes do que se eu estivesse lendo 3 páginas por dia. Quantas páginas tem o livro?

Surf - solução

 R: Porque é lá que se encontra as micro-ondas.

Surf

 Porque é que se deve começar a aprender surf na cozinha?

O combóio e o túnel - solução

 Resposta: 2 minutos

Nesse caso temos o combóio com 1 km de comprimento, atravessando um túnel de 1 km de comprimento. Se ele viaja à velocidade de 1 km por minuto, temos a impressão de que ele levaria 1 minuto para atravessar o túnel, porém quando ele atinge o final do túnel com a sua frente ele precisa passar mais 1 km do seu corpo que está totalmente dentro do túnel logo ele leva 2 minutos para essa travessia.

O combóio e o túnel

 Quanto tempo leva um combóio de 1 km de comprimento para atravessar um túnel de 1 km de comprimento, se viaja à velocidade de 1 km por minuto?

A) 1 minuto              B) 2 minutos            C) 2,5 minutos              D) 3 minutos