Maio maior?

 P: O que é que faz o mês de Maio ficar maior?

Brincando às probabilidades com dados - solução

 R:

1 – A probabilidade de não conseguir um seis, em cada dado, é 5/6 = 0,83333…, dado que

nº de casos favoráveis: 5

nº de casos possíveis: 6

Portanto, a probabilidade de não conseguir um 6 no lançamento dos 4 dados é (5/6)^4 = 0,482253…

Logo, a probabilidade de tirar pelo menos um 6 no lançamento dos 4 dados é, aproximadamente de 1 - 0,482253 = 0,517747……

2 – Por outro lado, a probabilidade de não obter 2 seis ao lançar 2 dados é (35/36) = 0,972222…   dado que

nº de casos favoráveis de não obter 2 seis são 35 dos 36 possíveis.

Se se repetir o processo (não obter 2 seis ao lançar 2 dados) 24 vezes, obtém-se que a probabilidade deste acontecimento é de (0,97222)^24  = 0,508596…

Portanto, a probabilidade de conseguir 2 nºs 6 ao lançar 2 dados 24 vezes é aproximadamente de 1 – 0,508596 = 0,491404…

3 – Moral da história: é mais provável obter um seis ao lançar um dado 4 vezes do que obter dois seis lançando 2 dados 24 vezes.

Brincando às probabilidades com dados

A probabilidade de um dado acontecimento pode ser definida como o quociente entre o nº de casos favoráveis e o nº de casos possíveis desse acontecimento.

Por outro lado, toda a gente sabe o que é um dado: pequeno cubo com as faces numeradas de 1 a 6.

Assim sendo, pergunta-se o que é mais provável:

1 - Obter pelo menos um seis ao lançar quatro dados

    ou 

2 – Obter pelo menos dois seis lançando dois dados 24 vezes seguidas?

Queda de astronautas - solução

 R: Porque lá, os acidentes são de baixa gravidade.

Queda de Astronautas

 P: Porque é que os astronautas não se magoam na Lua?

Escolha do cofre - solução

 

Solução:

Situações possíveis

                                      

	Cofre 1	Cofre 2	Cofre 3
Estado 1	Diamante	Vazio	Vazio
Estado 2	Vazio	Diamante	Vazio
Estado 3	Vazio	Vazio	Diamante

 

Suponhamos que estamos no estado 1 (para os outros o raciocínio seria o mesmo):

 

Possibilidade 1: Escolhe-se o cofre 1. O apresentador abre o 2.

Se se trocar, PERDE-SE.

Se se ficar na mesma, GANHA-SE.

É óbvio que se o apresentador tivesse aberto o cofre 3, o resultado seria o mesmo.

 

Possibilidade 2: Escolhe-se o cofre 2. O apresentador abre o 3

Se se trocar, GANHA-SE.

Se se ficar na mesma, PERDE-SE.

 

Possibilidade 3: Escolhe-se o cofre 3. O apresentador abre o 2

Se se trocar, GANHA-SE.

Se se ficar na mesma, PERDE-SE.

 

Em resumo, GANHA-SE em 2 vezes se se trocar a escolha inicial e apenas se GANHA 1 vez se se permanecer com a inicial.

 

Outra visão da solução:

O verdadeiro problema começa após a primeira acção do apresentador, ao abrir um cofre que sabe estar vazio, o que faz sempre.

Aí, o concorrente tem de decidir se mantêm a escolha inicial ou se a troca pelo outro cofre ainda fechado.

Portanto, ele tem de escolhe entre os 2 cofres ainda fechados, um dos quais tem necessariamente o diamante. Ora, quer mantenha a escolha inicial ou a altere, tem 50% de  hipóteses de ganhar o diamante.

Solução:

Situações possíveis

                                      

	Cofre 1	Cofre 2	Cofre 3
Estado 1	Diamante	Vazio	Vazio
Estado 2	Vazio	Diamante	Vazio
Estado 3	Vazio	Vazio	Diamante

 

Suponhamos que estamos no estado 1 (para os outros o raciocínio seria o mesmo):

 

Possibilidade 1: Escolhe-se o cofre 1. O apresentador abre o 2.

Se se trocar, PERDE-SE.

Se se ficar na mesma, GANHA-SE.

É óbvio que se o apresentador tivesse aberto o cofre 3, o resultado seria o mesmo. 

Possibilidade 2: Escolhe-se o cofre 2. O apresentador abre o 3

Se se trocar, GANHA-SE.

Se se ficar na mesma, PERDE-SE. 

Possibilidade 3: Escolhe-se o cofre 3. O apresentador abre o 2

Se se trocar, GANHA-SE.

Se se ficar na mesma, PERDE-SE.

 

Em resumo, GANHA-SE em 2 vezes se se trocar a escolha inicial e apenas se GANHA 1 vez se se permanecer com a inicial.

 

Outra visão da solução:

O verdadeiro problema começa após a primeira acção do apresentador, ao abrir um cofre que sabe estar vazio, o que faz sempre.

Aí, o concorrente tem de decidir se mantêm a escolha inicial ou se a troca pelo outro cofre ainda fechado.

Assim,ele tem de escolhe entre os 2 cofres ainda fechados, um dos quais tem necessariamente o diamante. Ora, quer mantenha a escolha inicial ou a altere, tem 50% de hipóteses de ganhar o diamante.

Portanto tanto faz manter ou alterar a escolha inicial.

Escolha do cofre

 

Problema posto pelo nosso camarada e amigo Castro Silva.

Num canal televisivo nos USA corria um concurso com muita audiência que consistia no seguinte:

No palco estavam 3 cofres contendo um deles um precioso diamante.

O apresentador pedia então ao concorrente para escolher o cofre onde supostamente estaria o diamante.

Feita a escolha ,o apresentador abria então um dos cofres que não tinha sido escolhido e que obviamente estava vazio.

Perguntava-se então ao concorrente se queria alterar a sua primeira escolha.

E agora pergunto aos meus amigos o que deve o concorrente responder para aumentar a probabilidade de ganhar o diamante? Alterar ou manter a escolha inicial?

Trapezistas - solução

 R: Porque não pode ficar sem rede.

Trapezistas

 P: Porque é que o trapezista tem vários telemóveis?

Metades - solução

 

R: Atendendo a que 10 cm =  10 ^-1 m e o diâmetro do átomo de hidrogénio é igual a 100 x 10 ^-12 = 10 ^- 10 m, precisaríamos de alinhar mil milhões de átomos de hidrogénio (10 ^- 1 / 10 ^{- 10} = 10 ⁹ = 1 000 000 000) para obter um comprimento de 10 cm .

Assim, sendo x o número de vezes que temos de ir dividindo o segmento inicial de 10 cm, o que mesmo é dizer irmos duplicando o diâmetro do átomo de hidrogénio, podemos dizer que 2^x = 10 ⁹ e utilizando os logaritmos (de base 10), obtemos o valor de x:

log 2^x = log 10 ⁹ , donde x = log 10 ⁹ / log 2 = 9 / 0,30103 = 29,89735

Bastam-nos, portanto, 30 divisões em sucessivas metades do segmento inicial de 10 cm para chegarmos aproximadamente ao diâmetro do átomo de hidrogénio.

Metades

 

P: Considere-se um segmento de recta de 10 cm e comece-se por dividi-lo ao meio. Divida-se depois ao meio uma metade. Divida-se de novo ao meio essa metade e prossiga-se assim até chegar a uma metade com o comprimento equivalente ao diâmetro do átomo mais pequeno, o do hidrogénio.

Quantas vezes ´será necessário dividir ao meio o segmento de recta?

Um átomo de hidrogénio tem um diâmetro aproximado de 100 picómetros (1 picómetro é igual a 10 ^--12 metros).

Vacas... - solução

 R: Aqui, vaquinhas, aqui…

Vacas...

 Como se chama uma dúzia de vacas?

Caça aos ratos - solução

 R: Então, se 7 gatos caçam 7 ratos em 7 minutos, os mesmos 7 gatos em 10 vezes esse tempo (70 minutos), caçarão 10 vezes o número de ratos (70 ratos). Ou seja, a resposta é 7 gatos!

Probabilidades com aniversários

 Mais probabilidades. Agora com pessoas.

Embora a utilidade prática deste problema seja muito discutível para não dizer nula, ele tem piada do ponto de vista do cálculo probabilístico e pela surpresa do resultado, que se imaginava muito diferente se se tivesse de dar um palpite sem recorrer aos cálculos.

Vamos a isso.

Imaginemos que queremos saber qual nº mínimo de pessoas (n) seleccionadas ao acaso para que a probabilidade de pelo menos duas delas fazerem anos no mesmo dia do ano (considere-se o de 365 dias) seja superior ao de os fazerem todas em dias diferentes.

Caça aos ratos

 Se sete gatos caçam sete ratos em sete minutos, pergunta-se: quantos gatos são precisos para caçar setenta ratos em setenta minutos?

Palavra mentirosa - solução

 R: Só-mente.