República versus Monarquia

 Porque não está para defender o rei.

República versus Monarquia

 Porque é que o Presidente da República não joga xadrez?

Semelhanças

 O mil-folhas

Semelhanças estranhas mas lógicas

 Qual o bolo mais parecido com uma árvore? 

Simplificar ou complicar?

 Para os maluquinhos dos números ou para aqueles que tendo um relógio com mostrador em números romanos não os saibam ler ou dos árabes só conheçam o 9, aqui via uma "simples" solução.

Nota: Quem souber explicar como o relojoeiro arranjou a fórmula dos números 5 e 7, agradecia que a explicasse.

Pratos desligáveis

 O strogOnOff 

Pratos desligáveis

 Qual a comida que se liga e deliga?

Diálogo na Natureza

 Com que então andas à procura dum buraco!

Diálogos na Natureza

 O que diz o ozono ao raio ultravioleta?

O antes e o depois...

 ... ou a monocultura ao ataque, em Castro Marim.

Era bom mas...

 Era bom, mas … acabou.

Aas pequenas explorações de subsistência transmitidas de geração em geração, mantidas à custa de trabalho braçal, e que proporcionam estes mimos,

necessariamente morrem quando esses braços perdem a força pela lei da vida ou tomam outros rumos, e não há quem os substituam.

Foi bom…, enquanto durou.

Ficam as suas memórias, que também fazem parte da vida.

Agradecimentos

 Em dia de aniversário e embora com uma actividade muito discreta e intermitente (por culpa do seu editor) o "Divagações" agradece penhoradamente com um grande abraço aos poucos mas fiéis colaboradores que têm permitido que de vez em quando dê um ar da sua graça e que se mantenha vivo e de boa saúde, que a mais não ambiciona.

São servidos?

 São da 2ª camada (como sabem as figueiras dão duas camadas de fruto por ano, a 1ª em Junho e a 2ª por esta altura), portanto mais pequenos mas igualmente muito saborosos.

E ainda tive a possibilidade de os ir apanhar à árvore, apesar do muito calor.

Mais números misteriosos

 Os mistérios dos números são insondáveis...

E esta?

Curiosidade - explicação

 

Curiosidade

 

Alguns dos habituais amigos/colaboradores quer fazer alguma consideração sobre esta curiosidade?

Mensagem do 25ABR

 O objectivo deste blogue é meramente lúdico e a colaboração nele resume-se a alguns amigos da geração do autor, cuja quantificação etária me dispenso de fazer.

Quanto aos visitantes, não faço ideia onde situam em termos etários, mas também não devem a andar longe de nós.

Hoje, mais para o sério e para variar, coloco aqui umas poucas palavras que enviei ontem a alguns jovens das minhas relações e família, impressionado que fiquei com as entusiásticas e numerosas manifestações, particularmente da juventude, na comemoração do 50º aniversário do 25ABR, em Lisboa e no Porto.

Até agora ainda nenhum reagiu, mas quero pensar que ainda estejam a descansar da jornada de ontem. E não espero que reajam, mas sim que retenham dentro de si alguma coisa da mensagem.

"Que este dia que hoje faz 50 anos e que baniu o obscurantismo que havia 48 anos martirizava a sociedade portuguesa e abriu as portas à esperança de uma vida melhor, mais humana e solidária para o povo, nunca seja esquecido e comemorado pelas sucessivas gerações e que nunca deixe de haver quem lute pelos valores humanistas em que os que tudo arriscaram para fazer o 25ABR74 e os que a ele espontâneamente aderiram, apostaram."

Animais na Arca de Noé - solução

 O bicho da madeira.

Animais na Arca de Noé

 Que animal não pôde entrar na arca de Noé?

Bilhetes n CP - solução

Nada mais fácil: em cada uma das estações o viajante pode pedir um bilhete para qualquer uma das restantes, portanto 25 x 24 = 600.

Porém, franzindo a testa e com a sua experiência profissional ou de vida, quase que me pedindo desculpa da sua ignorância em matéria matemática e com ar bonacheirão replicou-me:

- Não te terás esquecido dos bilhetes de ida e volta?

- Oh diabo! Esqueci-me dessa. Então são 1200.

Bilhetes na CP

 Na minha juventude, costumava utilizar o combóio numa linha com 25 estações em que alguns desses comboios paravam em todas elas.

O chefe de uma dessas estações que eu mais frequentava, era um senhor já de alguma idade, velho conhecido, com quem trocava umas palavras de ocasião enquanto esperava.

Numa dessas vezes, disparou-me:

- Já viste a quantidade de bilhetes diferentes que a empresa tem de mandar fazer para prover todas as estações desta linha?

Todo ufano com a sabedoria que os meus estudos matemáticos, embora muito elementares, ingenuamente me proporcionavam, pensei um pouco e avancei com um número que por uns momentos o impressionou, mas que rapidamente me pareceu convencê-lo.

Como a memória já não é a mesma, querem ajudar-me a recordar o que terei respondido?

Má pronúncia - solução

 R: A palavra MAL.

Má pronúncia

  Qual a palavra que todas as pessoas pronunciam mal?

Avô e neto - solução

 O neto nasceu, evidentemente no século XXI. Os primeiros algarismos do ano do seu nascimento são 2 e 0. O número expresso pelos algarismos restantes somado com a sua idade deve dar como resultado 24. Isto significa que o ano em eu nasceu é 2012 e em 2024 tinha 12 anos.

O avô nasceu, claro está no século XX. O número formado pelos primeiros dois algarismos do ano do seu nascimento é 19. O dobro do número expresso pelos restantes algarismos deve ser igual a 124. Portanto, isto quer dizer que que o seu valor é igual a metade desse número, ou seja, 62. O avô nasceu em 1962 e em 2024 tem 62 anos.

Deste modo, avô e neto têm, em 2024, tantos anos quanto o expresso pelo número formado pelos dois últimos algarismos dos anos dos seus nascimentos.

Avô e neto

 Esta contou-me há dias um amigo meu.

O seu neto, perspicaz como é, disse-lhe que tinha constactado há poucos dias na coincidência de que a sua idade era expressa pelo número formado pelos dois últimos algarismos do ano em que nasceu, e que ficou muito surpreendido quando o avô lhe disse que com ele sucedia o mesmo.

Seria possível? Só se convenceu quando o avô lho demonstrou ser verdade.

Quem quer fazer de avô? Ou de neto?

Pequeno almoço - solução

 R: O almoço. O lanche e o jantar.

Pequeno almoço

 O que é que nunca se come ao pequeno almoço?

Probabilidades com aniversários - solução

 

R: 23 pessoas. Vejamos como se chega aí:

1 - Comecemos por calcular a probabilidade de ninguém fazer anos no mesmo dia (Pnão):

        Para n=2

            P2não = caos favoráveis / casos possíveis = (365 x 364) / 365^2 = 0,997260274

        Para n=3

            P3não = caos favoráveis / casos possíveis = (365 x 364 x 363) / 365^3 = 0,991795834

        Para n=4

            P4não = caos favoráveis / casos possíveis = (365 x 364 x 363 x 362) / 365^4= 0,983644088

…………….

        Para n=22

            P22não = caos favoráveis / casos possíveis = (365 x 364 x … 344) / 365^22= 0,524304692

        Para n=23

    P23não = caos favoráveis / casos possíveis = (365 x 364 x … 343) / 365^23= 0,492702766

…………….

        No geral, para n

    Pnnão = caos favoráveis / casos possíveis = (365 x 364 x …(365-n+1) / 365^n

2 - As probabilidades de haver pelo menos 2 que fazem no mesmo dia, são então (Psim):

    Para n=2

        P2sim = 1 - P2não = 0,002739726 

    Para n=3

        P3sim = 1 – P3não = 0,008204166

    Para n=4

        P4sim = 1 – P4não = 0,016355912

    Para n=22

        P22sim = 1 – P22não = 0,475695308

    Para n=23

P23sim = 1 – P23não = 0,507297234

Resumindo:

3 – Conclusão: para n igual ou maior que 23, a probabilidade de haver pelo menos 2 pessoas que façam anos no mesmo dia é superior a 50%

Probabilidades com aniversários

Mais probabilidades. Agora com pessoa.

Embora a utilidade prática deste problema seja muito discutível para não dizer nula, ele tem piada do ponto de vista do cálculo probabilístico e pela surpresa do resultado, que se imaginava muito diferente se se tivesse de dar um palpite sem recorrer aos cálculos. Vamos a isso. Imaginemos que queremos saber qual nº mínimo de pessoas (n) seleccionadas ao acaso para que a probabilidade de pelo menos duas delas fazerem anos no mesmo dia do ano (considere-se o de 365 dias) seja superior ao de fazerem todas anos em dias diferentes.

Maio maior? - solução

 R: A letra R.

Maio maior?

 P: O que é que faz o mês de Maio ficar maior?

Brincando às probabilidades com dados - solução

 R:

1 – A probabilidade de não conseguir um seis, em cada dado, é 5/6 = 0,83333…, dado que

nº de casos favoráveis: 5

nº de casos possíveis: 6

Portanto, a probabilidade de não conseguir um 6 no lançamento dos 4 dados é (5/6)^4 = 0,482253…

Logo, a probabilidade de tirar pelo menos um 6 no lançamento dos 4 dados é, aproximadamente de 1 - 0,482253 = 0,517747……

2 – Por outro lado, a probabilidade de não obter 2 seis ao lançar 2 dados é (35/36) = 0,972222…   dado que

nº de casos favoráveis de não obter 2 seis são 35 dos 36 possíveis.

Se se repetir o processo (não obter 2 seis ao lançar 2 dados) 24 vezes, obtém-se que a probabilidade deste acontecimento é de (0,97222)^24  = 0,508596…

Portanto, a probabilidade de conseguir 2 nºs 6 ao lançar 2 dados 24 vezes é aproximadamente de 1 – 0,508596 = 0,491404…

3 – Moral da história: é mais provável obter um seis ao lançar um dado 4 vezes do que obter dois seis lançando 2 dados 24 vezes.

Brincando às probabilidades com dados

A probabilidade de um dado acontecimento pode ser definida como o quociente entre o nº de casos favoráveis e o nº de casos possíveis desse acontecimento.

Por outro lado, toda a gente sabe o que é um dado: pequeno cubo com as faces numeradas de 1 a 6.

Assim sendo, pergunta-se o que é mais provável:

1 - Obter pelo menos um seis ao lançar quatro dados

    ou 

2 – Obter pelo menos dois seis lançando dois dados 24 vezes seguidas?

Queda de astronautas - solução

 R: Porque lá, os acidentes são de baixa gravidade.

Queda de Astronautas

 P: Porque é que os astronautas não se magoam na Lua?

Escolha do cofre - solução

 

Solução:

Situações possíveis

                                      

	Cofre 1	Cofre 2	Cofre 3
Estado 1	Diamante	Vazio	Vazio
Estado 2	Vazio	Diamante	Vazio
Estado 3	Vazio	Vazio	Diamante

 

Suponhamos que estamos no estado 1 (para os outros o raciocínio seria o mesmo):

 

Possibilidade 1: Escolhe-se o cofre 1. O apresentador abre o 2.

Se se trocar, PERDE-SE.

Se se ficar na mesma, GANHA-SE.

É óbvio que se o apresentador tivesse aberto o cofre 3, o resultado seria o mesmo.

 

Possibilidade 2: Escolhe-se o cofre 2. O apresentador abre o 3

Se se trocar, GANHA-SE.

Se se ficar na mesma, PERDE-SE.

 

Possibilidade 3: Escolhe-se o cofre 3. O apresentador abre o 2

Se se trocar, GANHA-SE.

Se se ficar na mesma, PERDE-SE.

 

Em resumo, GANHA-SE em 2 vezes se se trocar a escolha inicial e apenas se GANHA 1 vez se se permanecer com a inicial.

 

Outra visão da solução:

O verdadeiro problema começa após a primeira acção do apresentador, ao abrir um cofre que sabe estar vazio, o que faz sempre.

Aí, o concorrente tem de decidir se mantêm a escolha inicial ou se a troca pelo outro cofre ainda fechado.

Portanto, ele tem de escolhe entre os 2 cofres ainda fechados, um dos quais tem necessariamente o diamante. Ora, quer mantenha a escolha inicial ou a altere, tem 50% de  hipóteses de ganhar o diamante.

Solução:

Situações possíveis

                                      

	Cofre 1	Cofre 2	Cofre 3
Estado 1	Diamante	Vazio	Vazio
Estado 2	Vazio	Diamante	Vazio
Estado 3	Vazio	Vazio	Diamante

 

Suponhamos que estamos no estado 1 (para os outros o raciocínio seria o mesmo):

 

Possibilidade 1: Escolhe-se o cofre 1. O apresentador abre o 2.

Se se trocar, PERDE-SE.

Se se ficar na mesma, GANHA-SE.

É óbvio que se o apresentador tivesse aberto o cofre 3, o resultado seria o mesmo. 

Possibilidade 2: Escolhe-se o cofre 2. O apresentador abre o 3

Se se trocar, GANHA-SE.

Se se ficar na mesma, PERDE-SE. 

Possibilidade 3: Escolhe-se o cofre 3. O apresentador abre o 2

Se se trocar, GANHA-SE.

Se se ficar na mesma, PERDE-SE.

 

Em resumo, GANHA-SE em 2 vezes se se trocar a escolha inicial e apenas se GANHA 1 vez se se permanecer com a inicial.

 

Outra visão da solução:

O verdadeiro problema começa após a primeira acção do apresentador, ao abrir um cofre que sabe estar vazio, o que faz sempre.

Aí, o concorrente tem de decidir se mantêm a escolha inicial ou se a troca pelo outro cofre ainda fechado.

Assim,ele tem de escolhe entre os 2 cofres ainda fechados, um dos quais tem necessariamente o diamante. Ora, quer mantenha a escolha inicial ou a altere, tem 50% de hipóteses de ganhar o diamante.

Portanto tanto faz manter ou alterar a escolha inicial.

Escolha do cofre

 

Problema posto pelo nosso camarada e amigo Castro Silva.

Num canal televisivo nos USA corria um concurso com muita audiência que consistia no seguinte:

No palco estavam 3 cofres contendo um deles um precioso diamante.

O apresentador pedia então ao concorrente para escolher o cofre onde supostamente estaria o diamante.

Feita a escolha ,o apresentador abria então um dos cofres que não tinha sido escolhido e que obviamente estava vazio.

Perguntava-se então ao concorrente se queria alterar a sua primeira escolha.

E agora pergunto aos meus amigos o que deve o concorrente responder para aumentar a probabilidade de ganhar o diamante? Alterar ou manter a escolha inicial?

Trapezistas - solução

 R: Porque não pode ficar sem rede.

Trapezistas

 P: Porque é que o trapezista tem vários telemóveis?

Metades - solução

 

R: Atendendo a que 10 cm =  10 ^-1 m e o diâmetro do átomo de hidrogénio é igual a 100 x 10 ^-12 = 10 ^- 10 m, precisaríamos de alinhar mil milhões de átomos de hidrogénio (10 ^- 1 / 10 ^{- 10} = 10 ⁹ = 1 000 000 000) para obter um comprimento de 10 cm .

Assim, sendo x o número de vezes que temos de ir dividindo o segmento inicial de 10 cm, o que mesmo é dizer irmos duplicando o diâmetro do átomo de hidrogénio, podemos dizer que 2^x = 10 ⁹ e utilizando os logaritmos (de base 10), obtemos o valor de x:

log 2^x = log 10 ⁹ , donde x = log 10 ⁹ / log 2 = 9 / 0,30103 = 29,89735

Bastam-nos, portanto, 30 divisões em sucessivas metades do segmento inicial de 10 cm para chegarmos aproximadamente ao diâmetro do átomo de hidrogénio.

Metades

 

P: Considere-se um segmento de recta de 10 cm e comece-se por dividi-lo ao meio. Divida-se depois ao meio uma metade. Divida-se de novo ao meio essa metade e prossiga-se assim até chegar a uma metade com o comprimento equivalente ao diâmetro do átomo mais pequeno, o do hidrogénio.

Quantas vezes ´será necessário dividir ao meio o segmento de recta?

Um átomo de hidrogénio tem um diâmetro aproximado de 100 picómetros (1 picómetro é igual a 10 ^--12 metros).

Vacas... - solução

 R: Aqui, vaquinhas, aqui…

Vacas...

 Como se chama uma dúzia de vacas?

Caça aos ratos - solução

 R: Então, se 7 gatos caçam 7 ratos em 7 minutos, os mesmos 7 gatos em 10 vezes esse tempo (70 minutos), caçarão 10 vezes o número de ratos (70 ratos). Ou seja, a resposta é 7 gatos!

Probabilidades com aniversários

 Mais probabilidades. Agora com pessoas.

Embora a utilidade prática deste problema seja muito discutível para não dizer nula, ele tem piada do ponto de vista do cálculo probabilístico e pela surpresa do resultado, que se imaginava muito diferente se se tivesse de dar um palpite sem recorrer aos cálculos.

Vamos a isso.

Imaginemos que queremos saber qual nº mínimo de pessoas (n) seleccionadas ao acaso para que a probabilidade de pelo menos duas delas fazerem anos no mesmo dia do ano (considere-se o de 365 dias) seja superior ao de os fazerem todas em dias diferentes.

Caça aos ratos

 Se sete gatos caçam sete ratos em sete minutos, pergunta-se: quantos gatos são precisos para caçar setenta ratos em setenta minutos?

Palavra mentirosa - solução

 R: Só-mente.

Palavra mentirosa

 Qual a palavra que nunca diz a verdade?

Janela para o mar - solução

 R: Num submarino.

Janela para o mar

 Onde não deves abrir a janela para veres o mar?

Descobrir criminoso - solução

 R:    Alternativa correta: c) Carlos.

    Vejamos:

Apenas um suspeito mente e os outros dizem a verdade. Assim, há uma contradição entre a declaração de João e de Carlos.

    1ª opção: Se João diz a verdade, a declaração de Pedro pode ser verdadeira, a de Carlos seria falsa (por                        ser contraditória) e Paulo estaria falando a verdade.

    2ª opção: Se a declaração de João for a falsa e a declaração de Carlos for verdadeira, a declaração de                         Pedro pode ser verdadeira, mas a declaração de Paulo teria que ser falsa.

    Logo, seriam duas declarações falsas (João e Paulo), invalidando a questão (apenas uma falsidade).

Assim, a única opção válida é João dizer a verdade e Carlos ser o criminoso.

Descobrir criminoso

 Quatro suspeitos de praticar um crime fazem as seguintes declarações:

        João: Carlos é o criminoso

        Pedro: eu não sou criminoso

        Carlos: Paulo é o criminoso

        Paulo: Carlos está mentindo

Sabendo que apenas um dos suspeitos mente, determine quem é o criminoso.

    a) João

    b) Pedro

    c) Carlos

    d) Paulo

Palavras em desuso

 Lembrança de algumas palavras que deixaram de se usar ou usando cada vez menos, desde que as aprendi, já lá vão umas boas décadas, ou ainda que vão mudando de significado.

Quem quiser recordá-las, basta carregar AQUI.

Quem se lembrar do outras e quiser, faça o favor de as indicar.

Chocolate - solução

 Resposta correta: c) 5/12.

O primeiro pote continha 3 sabores em iguais quantidades: 1/3 de chocolate, 1/3 de baunilha e 1/3 de morango.

No segundo pote, havia 1/2 de chocolate e 1/2 de baunilha.

Representando esquematicamente a situação, conforme imagem abaixo, temos:

 

Note que queremos saber a fração correspondente à quantidade de chocolate na compra, ou seja, considerando os dois potes de sorvete, por isso dividimos os dois potes em partes iguais.

Desta forma, cada pote foi dividido em 6 partes iguais. Portanto nos dois potes temos 12 partes iguais. Sendo que destas, 5 partes correspondem ao sabor chocolate.

Assim, a resposta correta é a letra c.

Poderíamos ainda resolver esse problema, considerando que a quantidade de sorvete em cada pote é igual a Q. Temos então: 

 O denominador da fração procurada será igual a 2Q, pois temos que considerar que são dois potes. O numerador será igual a soma das partes de chocolate em cada pote. Assim:

Chocolate, a quanto obrigas

 Paula comprou dois potes de sorvete, ambos com a mesma quantidade do produto.

Um dos potes continha quantidades iguais dos sabores chocolate, creme e morango; e o outro, quantidades iguais dos sabores chocolate e baunilha.

Então, qual das seguintes fracções correspondente à quantidade de sorvete do sabor chocolate?

a) 2/5

b) 3/5

c) 5/12

d) 5/6

Capitalistas - solução

 Resposta: c)

Do enunciado sabemos que a empresa foi dividida em 16 partes, pois 4 + 6 + 6 = 16.

Essas 16 partes devem ser divididas em três partes iguais para os sócios.

Como 16/3 não é uma divisão exata, podemos multiplicar por um valor comum, sem perder a proporcionalidade.

Vamos multiplicar por 3 e verificar a igualdade.

4.3 + 6.3 + 6.3 = 16.3

12 + 18 + 18 = 48

48 = 48

Dividindo 48 por 3 o resultado é exato.

48/3 = 16

Agora, a empresa está dividida em 48 partes, das quais:

Antônio possui 12 partes das 48.

Joaquim possui 18 partes das 48.

José possui 18 partes das 48.

Dessa forma, Antônio, que já tem 12, precisa receber mais 4 para ficar com 16.

Por isso, cada um dos outros sócios, precisam passar 2 partes, das 18, para Antônio.

A fração que Antônio precisa adquirir de casa sócio é 2/18, simplificando:

2/18 = 1/9

Capitalistas

 P: Antônio, Joaquim e José são sócios de uma empresa cujo capital é dividido, entre os três, em partes proporcionais a: 4, 6 e 6, respectivamente. Com a intenção de igualar a participação dos três sócios no capital da empresa, Antônio pretende adquirir uma fração do capital de cada um dos outros dois sócios.

A fração do capital de cada sócio que Antônio deverá adquirir é

a) 1/2

b) 1/3

c) 1/9

d) 2/3

e) 4/3

A carta de condução (de bicicleta)

 Um pequeno episódio do tempo da "outra senhora", um entre outras exigências e proibições.

Quer satisfazer a curiosidade? Então clique AQUI.

Aparências - solução

 R: Uma grávida de gémeos.

Aparências

 O que é que são 3, parecem 2 e só se vê 1?